层次分析法

这是我的层次分析法笔记

评价类模型

层次分析法（AHP）

• 评价类问题可以用打分解决（注意评价时各指标权重和为1，同指标打分和也为1）

	权重指标	方案一	方案二	······
指标一
指标二
指标三
······

• 评价类问题的三个问题：

1. 目标？
2. 方案？
3. 指标？（文献、常识法、快搜、谷歌搜索）

• 如何确定权重？

两两指标比较推出权重

标度	含义
1	两因素同等重要
3	一个比另外一个稍微重要
5	明显重要
7	强烈重要
9	极端重要
2，4，6，8	上述判断的中值
倒数	A和B比是3，那么B和A比就是1/3

	指标一	指标二	指标三	指标四
指标一	$a_{ij}$
指标二
指标三
指标四

判断矩阵的内容用专家系统利用上表填

1. $a_{ij}$的意义：与j相比i的重要程度
2. 当i==j，为1
3. $a_{ij} \times a_{ji}==1$(正负反矩阵)

• 怎么在一个指标上给方案打分? 依旧用判断矩阵

指标	方案1	方案2	······
方案1
方案2
······

可能会出现“不一致”现象

$a_{ij}=\frac{i的重要程度}{j的重要程度}$

$a_{jk}=\frac{j的重要程度}{k的重要程度}$

$a_{ik}=\frac{i的重要程度}{k的重要程度}=a_{ij}\times a_{jk}$

一致矩阵特点：各行（各列）之间成倍数关系

**注意：**使用判断矩阵求权重之前，一定要进行一致性检验,即$a_{ik}=\frac{i的重要程度}{k的重要程度}=a_{ij}\times a_{jk}$

• 一致性检验

  充要条件：

1. $a_{ij}>0$
2. $a_{ij}=1 \quad \text{if } i==j$
3. $[a_{i1},a_{i2},···,a_{in}] =k_i[a_{11},a_{12},···,a_{1n}]$

一致矩阵有一个特征值为n，其余特征值为0

越是不一致，最大特征值与n相差就越大

一致性检验标准步骤

1. 计算一致性指标CI

$$
CI=\frac{\lambda_{max}-n}{n-1}
$$

$\lambda_{max}$就是最大特征值

2. 查找对应平均随机一致性指标RI

3. 计算一致性比例CR

$$
CR=\frac{CI}{RI}
$$

若CR<0.1则可以接受

一致矩阵怎么计算权重

1. 构建判断矩阵

首先，构建一个 $ n \times n $ 的判断矩阵 A ，其中元素 $ a_{ij} $ 表示因素 i 相对于因素 j 的重要性。

示例

假设有 3 个因素 $C_1, C_2, C_3 $，判断矩阵如下：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 3 & 5 \
\frac{1}{3} & 1 & 2 \
\frac{1}{5} & \frac{1}{2} & 1
\end{bmatrix}
$$

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2. 计算权重向量

特征法通过求解判断矩阵的特征向量来计算权重。以下是具体步骤：

步骤 1：计算矩阵 ( A ) 的最大特征值 $\lambda_{\text{max}} $

最大特征值 $\lambda_{\text{max}} $ 是矩阵 ( A ) 的最大特征值。

步骤 2：计算特征向量 ( w )

特征向量 ( w ) 是对应于 $\lambda_{\text{max}} $ 的特征向量，归一化后即为权重向量。

步骤 3：归一化特征向量

将特征向量 ( w ) 归一化，得到权重向量。

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3. 具体计算过程

以下是具体的计算方法：

步骤 1：计算矩阵 ( A ) 的特征值和特征向量

使用数学工具（如 MATLAB、Python 等）计算矩阵 ( A ) 的特征值和特征向量。

步骤 2：选择最大特征值 $\lambda_{\text{max}} $

从所有特征值中选择最大的一个，记为 $\lambda_{\text{max}} $。

步骤 3：提取对应特征向量 ( w )

选择与 $\lambda_{\text{max}} $ 对应的特征向量 ( w )。

步骤 4：归一化特征向量

将特征向量 ( w ) 归一化，得到权重向量：
$$
w_i = \frac{w_i}{\sum_{j=1}^{n} w_j}
$$
以下是对上述矩阵 ( A ) 的计算过程：

步骤 1：计算特征值和特征向量

假设计算得到特征值和特征向量如下：
• 特征值：$ \lambda_1 = 3.039, \lambda_2 = 0.019, \lambda_3 = -0.058 $
• 特征向量：
$$
w = \begin{bmatrix}
0.633 \
0.267 \
0.100
\end{bmatrix}
$$

步骤 2：选择最大特征值

最大特征值为 $\lambda_{\text{max}} = 3.039 $。

步骤 3：提取对应特征向量

特征向量为：
$$
w = \begin{bmatrix}
0.633 \
0.267 \
0.100
\end{bmatrix}
$$

步骤 4：归一化特征向量

归一化后得到权重向量：
$$
w = \begin{bmatrix}
0.633 \
0.267 \
0.100
\end{bmatrix}
$$

层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP）是一种将复杂决策问题分解为层次结构，通过量化主观判断进行多准则决策的方法。以下是其大体步骤：

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1. 建立层次结构模型

• 目标层：明确最终目标（例如“选择最佳供应商”）。
• 准则层：分解影响目标的关键因素（如价格、质量、服务等）。
• 方案层：列出可选方案（如供应商A、B、C）。

示例：

目标层：选择最佳供应商  
准则层：价格、质量、交货周期  
方案层：供应商A、B、C  

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2. 构造判断矩阵

• 两两比较：对同一层次的准则或方案进行重要性比较，使用 1-9标度法（1=同等重要，9=极端重要）。
• 构建矩阵：例如，比较准则层中的价格、质量、交货周期，形成如下矩阵：

     价格   质量   交货周期
价格   1      3      5
质量  1/3    1      2
交货 1/5   1/2     1

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3. 一致性检验

• 计算权重：通过特征向量法或几何平均法，得出各准则的权重。
• 检验逻辑：计算一致性比率（CR）。若 CR < 0.1，判断矩阵合理；否则需调整比较值。
• 公式：( CR = \frac{CI}{RI} )，其中 ( CI = \frac{\lambda_{\text{max}} - n}{n-1} )，( RI ) 为随机一致性指标（查表可得）。

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4. 计算方案层权重

• 对每个准则（如价格、质量），分别构造方案层的判断矩阵，重复步骤2-3，计算各方案在该准则下的权重。

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5. 总排序与决策

• 综合权重：将准则层权重与方案层权重相乘，得到各方案的总得分。
• 排序：按总得分从高到低选择最优方案。

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关键特点

• 量化主观判断：通过1-9标度将定性问题转化为定量分析。
• 动态调整：若一致性检验未通过，需重新调整判断矩阵。
• 适用范围：适用于资源分配、风险评估、供应商选择等复杂决策问题。

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示例结果：
若供应商A在总排序中得分最高，则选择供应商A。通过AHP将复杂决策分解为可操作的步骤，降低主观随意性。