TOPsis
这是我的Topsis笔记
优劣解距离法（TOPSIS）
层次分析法不能有太多的决策层，否则难以通过一致性检验
判断矩阵的结果不够客观，已有别的数据就暗示不要使用层次分析法
- 一个小例子：
如何给已有成绩的四个人评分？
- 排名倒置
- 归一化$\frac{x-min}{max-min}$
归一化不合理之处：
很多指标不存在理论上的最大最小值
没有办法直接综合多个指标
- 极大型指标（效益性指标）：越大越好
- 极小型指标（成本性指标）：越小越好
统一指标类型
指标正向化（把所有指标转化为极大型）
极小型转化为极大型：$max-x$
标准化（消去量纲）
$$
z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n x^2_{ij}}}
$$
计算得分
$$
\frac{x与最小值距离}{x与最小值距离+x与最大值距离}
$$
正理想解：$Z^+=(max{z_{11},z_{21},···}，···，max{z_{1m},z_{2m,···}})$
负理想解：$Z^-=(min{z_{11},z_{21},···}，···，min{z_{1m},z_{2m,···}})$
第i个评价对象与正理想解的距离：
$$
D^+i=\sqrt{\sum{j=1}^m w_j(z_{ij}-S^+_j)^2}
$$
$D^-_i$同理
$S_i=\frac{D^-_i}{D^-_i+D^+_i}$
全流程
原始矩阵正向化
四种指标：
- 极大型：越大越好
- 极小型：越小越好
- 中间型：越靠近中间某值越好
- 区间型：落在某区间最好
正向化：所有指标转化为极大型
极小型：$max-x$
中间型：$M=max{|x_i-x_{best}|}$,$\tilde{x_i}=1-\frac{|x_i-x_{best}|}{M}$
区间型指标转换为极大型指标的数学公式如下：
设区间型指标的最优区间为 $[a, b]$，数据最小值为 $x_{\text{min}}$，最大值为 $x_{\text{max}}$，则转换公式为：
$$
y =
\begin{cases}
\displaystyle \frac{x - x_{\text{min}}}{a - x_{\text{min}}}, & x < a, \
1, & a \leq x \leq b, \
\displaystyle \frac{x_{\text{max}} - x}{x_{\text{max}} - b}, & x > b.
\end{cases}
$$总结：极小型使用最大值减原值变成极大型；中间型先找离中心最远的距离，再化为1-（原值离中心距离/最远距离）；区间型先找离区间最远距离，再看区间外离区间距离/最远距离
标准化（消去量纲）
$$
z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n x^2_{ij}}}
$$
总结：每一列的每个值除以本列所有元素平方和开方
计算得分
$$
\frac{x与最小值距离}{x与最小值距离+x与最大值距离}
$$
正理想解：$Z^+=(max{z_{11},z_{21},···}，···，max{z_{1m},z_{2m,···}})$
负理想解：$Z^-=(min{z_{11},z_{21},···}，···，min{z_{1m},z_{2m,···}})$
第i个评价对象与正理想解的距离：
$$
D^+i=\sqrt{\sum{j=1}^m w_j(z_{ij}-S^+_j)^2}
$$
$D^-_i$同理
$S_i=\frac{D^-_i}{D^-_i+D^+_i}$
总结：先找本指标的最大最小值，然后分别计算每个值与最大最小值的平方和开方作为与理想解的距离